La 8 Ianuarie 1642 a încetat din viaţă italianul Galileo Galilei, matematician, astronom şi fizician renascentist italian. Galileo a scăpat in extremis de arderea pe rug, însă a fost condamnat la închisoare la domiciliu pînă la finele vieţii, pentru obrăznicia de a prezenta realităţile sistemului heliocentric. Galileo a fost reabilitat de abia la 31 Octombrie 1992, la aproape 350 de ani de la moartea sa, de către Papa Ioan Paul al II-lea. Galileo şi-a dedicat o mare parte a vieţii studierii astrelor şi dezvoltării instrumentelor menite să faciliteze observaţiile astronomice. Dincolo de descoperirile sale, revoluţionare la acea vreme, acesta a plătit şi un tribut personal: pierderea vederii. Galileo era fascinat în mod special de Soare, prin urmare, îşi petrecea o mare parte din timp făcînd observaţii asupra astrului. În ultimii ani de viaţă, savantul era aproape orb ca urmare a deteriorării grave a retinelor, cauzată de observaţiile sale îndelungate.

Arta infinitului: istorie, matematica, imposibil

Trăsăturile nefirești și paradoxale ale ideii de infinit au supus unor grele încercări mințile sclipitoare ale celor mai mari gînditori ai timpurilor. Adevăratele mistere matematice și, în general, ale lumii, se află la frontiera gîndirii noastre. Depășind-o, putem trece dincolo de ceea ce știm că este posibil și putem începe să explorăm miracolele universului la extrem. Încă din vremea grecilor antici, învățații și-au pus problema infinitului, dar primul om care a întrezărit cu adevărat amănunte valabile despre noțiunea reprezentată printr-un “opt” dispus pe orizontală a fost remarcabilul vizionar Galielo Galilei.

Infinitul este. Posibil

Infinitul a fost întotdeauna tratat cu un amestec de fascinație și smerenie. Unii l-au asociat ideii de divinitate, în timp ce alții îl privesc ca pe un concept fără valoare practică în lumea reală. Aceștia din urmă își argumentează poziția afirmînd că pînă și matematica, aparent dependentă de infinit, poate fi făcută recurgînd la cantități inepuizabile, dar finite. Vechii greci erau oarecum incomodați de concept, dat fiind termenul pe care i l-au atribuit, "apeiron", o noțiune cu aceleași conotații negative pe care civilizația modernă le înțelege prin cuvîntul "haos". "Apeiron"-ul era lipsit de control, sălbatic și periculos.

Ca atare, Aristotel a "pus la punct" atît de ferm infinitul încît cu greu a mai fost luat în considerare de cineva pînă în secolul al XVII-lea. Abordarea lui s-a dovedit extrem de pragmatică. Aristotel a decis că infinitul trebuie să existe, deoarece timpul pare să nu aibă început, nici sfîrșit. De asemenea, nu era posibil ca cineva să pretindă că o numărătoare ar fi putut fi terminată vreodată. Dacă ar fi existat un anume cel mai mare număr - "maximum", ce era în neregulă cu a spune "maximum + 1" sau "maximum + n"? Pe de altă parte, infinitul nu putea exista în lumea reală. Dacă ar fi existat, spre exemplu, un corp fizic infinit, spune Aristotel, acesta ar fi fără frontiere – totuși, prin definiție, pentru a fi corp un obiect trebuie să aibă margini.

Premisa, inteligența de altfel, a lui Aristotel era, deci, aceea că infinitul există și în același timp nu există. În loc să fie o proprietate adevărată a ceva real, argumenta el, infinitul există doar ca posibilitate. El poate exista în principiu, dar nu s-a întîmplat niciodată practic. Iar un exemplu foarte plastic dat de marele filosof sună cam așa: "Dacă un om dintr-o altă parte a lumii ar veni acum și ne-ar cere să îi arătăm Jocurile Olimpice de care suntem atît de mîndri, nu am putea să o facem. În acest moment, ele nu există în realitate, dar există ca posibilitate. La fel, și infinitul se află într-o stare de eventualitate". Toată lumea s-a declarat mulțumită de această "demonstrație" timp de aproape 2.000 de ani din acel moment, pînă cînd a intrat în scenă Galileo Galilei.

Roata imperfectă a lui Galileo

După arestul la domiciliu, din 1634, al lui Galileo, ca urmare a procesului care i s-a intentat pentru eretica sa teorie heliocentrică, omul de ştiinţă numai inactiv nu a devenit. În acea perioadă a scris cartea considerată a fi lucrarea de căpătîi a activităţii sale ştiinţifice, denumită "Discursuri şi demonstraţii matematice privind două Ştiinţe noi", echivalentă ca valoare cu "Principia" lui Newton. Cartea a fost scrisă sub forma unei conversaţii între un număr de personaje, abordînd în special chestiuni importante din punct de vedere ştiinţific. În înşiruirea narativă, după ce au dezbătut şi polemizat despre ce anume ţine materia unită, personajele au o abatere, aparent mai mult de amorul artei, despre natura infinitului. Galileo a adus în această privinţă o serie inedită de abordări, dar două dintre ele merită notate în special. Prima implică mişcarea unei perechi de roţi.

Galileo începe cu roţi imperfecte, cu cîteva laţuri, ca de exemplu de forma unor hexagoane. Roţile sunt tridimensionale - să ni le imaginăm ca şi cum ar fi făcute din marmură. Hexagonul mai mic este fixat în cel mare, şi fiecare se mişcă pe propria sa rută orizontală. Rotim agregatul într-o parte astfel încît să se mişte pe următoarea latură. Mişcîndu-se, roata mare pivotează pe unul din colţuri şi avansează pe traseu cu lungimea unei laturi. Dar ce s-a întîmplat cu roata mai mică? Nu doar roata mare s-a mișcat pe acea distanță, ci și roata mică; trebuie să fie așa, deoarece sunt fixate împreună. Adică ambele roți trebuie să fi parcurs fix aceeași distanță între poziția lor anterioară și cea de acum. Aterizînd pe propria latură următoare, roata mică a executat 1/6 dintr-o rotație completă și pare să se fi deplasat pe traseul propriu cît lungimea laturii sale; dar lucrurile nu s-au întîmplat așa, pentru că ea a fost mișcată pe distanța laturii roții mari. Așadar, pentru a executa mișcarea în surplus și a respecta legile fizicii, roata mică a fost complet ridicată de la traseu și așezată pe latura sa următoare. Totul pentru că distanța între poziția sa inițială și cea actuală trebuie să fie egală cu dimensiunea laturii roții mari.

Aici intervine artificiul isteț. Galileo și-a imaginat un număr sporit de laturi. Cu cît mai multe laturi, cu atît mai multe seturi de mici mișcări pe traseu și mici salturi ale roții inferioare de pe ruta proprie pe măsură ce se învîrte. În final, să ne imaginăm că ducem numărul de laturi la infinit. Sfîrșim prin a avea roți circulare.

Infinitul meu e mai mare decît infinitul tău

Învîrtim din nou cele două roți, conectate, pe respectivele trasee. Încă o dată, ambele parcurg aceeași distanță, să spunem, un sfert din circumferința roții mari. Sau așa ar trebui, pentru că acum ceva straniu s-a întîmplat. Marginea roții mari s-a rotit cu un sfert din circumferința ei pe traseul propriu. Marginea roții mai mici s-a învîrtit doar cît un sfert din propria sa circumferință, mai mică. Totuși ea trebuie să se fi deplasat pe aceeași distanță ca roata mare, însă fără a mai părăsi ruta. Nu există salturi, sau cel puțin așa pare.

Ceea ce și-a imaginat Galileo că se întîmplă în acest caz este că pe măsură ce roata mai mică se învîrte, un număr infinit de mici hop-uri infinitezimale se întîmplă pentru a acoperi diferența dintre circumferința roții mici și distanța pe care se deplasează. Infinitul a intrat în scenă printr-un dispozitiv fizic capabil să facă să se întîmple ceva aparent imposibil. Concluziile trase de personajele lui Galileo, Simplicio și Salviati, au fost că există un număr infinit de puncte pe o roată circulară și un număr infinit de puncte pe cealaltă. Dar cumva, deși fiecare are o infinitate de puncte, una a parcurs o distanță mai mare decît cealaltă. O infinitate era astfel la fel ca cealaltă și în același timp mai mare.

Sună confuz, pentru că este o problemă să gestionăm infinitul cu mințile noastre finite, după cum Salviati recunoaște în carte. Al doilea model propus de el este cel al pătratului; nu forma geometrică, ci pătratul unui număr, adică orice număr înmulțit cu el însușii. Așadar, își imaginează numerele întregi, înmulțindu-l pe fiecare cu sine. Pentru absolut orice număr întreg există un pătrat. Avem un număr infinit de numere întregi și, deci, un număr infinit de pătrate cu o corespondență de unu la unu. Dar iată prinsoarea! Există o mulțime de numere care nu reprezintă pătratul perfect pentru nimic. Așadar, deși există un pătrat pentru absolut orice număr întreg - un set infinit - există chiar mai multe numere individuale decît pătrate perfecte. Din nou, infinituri diferite. Galileo a descoperit ceva foarte special despre infinit. Regulile normale ale aritmeticii nu i se aplică. Pot exista, efectiv, infinituri "mai mici" și infinituri "mai mari", unul substituit celuilalt, care este de aceleași dimensiuni cu el, infinit. Adevăratele implicații ale cugetărilor lui Galileo au avut nevoie de peste 300 de ani pentru a ieși la lumină, dar chiar și așa, el a sădit sămînța a tot ceea ce avea să urmeze în legătură cu infinitul. (Sursa: Descoperă.ro)